「数学の公式・定理・決まり事がまとめてわかる辞典」
涌井良幸 2015年 ベレ出版
学習困難を抱える子供たち(中高生)の学習支援に役立てようと、アマゾンで見つけた買いました。数学を根本的に理解するには、公式を証明するのが一番ですからね。それを易しく解説すれば、深く解って貰えると考えたのです。
それは確かなのですが、この本はどちらかと言えば「数学オタク」向け、というか「これが理解できれば東大合格」水準。ちょっと私がボランティアで教えている子供たち向けではありませんでした。
なのですが、高校の数�掘疎膤悗凌�学を独学した私個人としては、勉強になりました！ありがとうございました！ 以下はこの本の要約と引用です（とは言え、特に興味深かった部分だけですが）。＊印は、ChatGPTに問い合わせた事例です。
■ 証明と論理
［ｐ⇒ｑ］が真のとき［Ｐ⊂Ｑ］。［ｐ⇔ｑ］は「同値」。命題［ｐ⇒ｑ］に対して対偶［‾ｑ⇒‾ｐ］は同値である。
■ 数と式
［ａ−ｂ］が［ｍ］で割り切れるとき、［ａとｂはｍを法として合同である］/［ａ≡ｂ(mod ｍ)］。偶数や奇数も「剰余類」。
［ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ］の解をα,βとすると［α＋β＝−ｂ/ａ，αβ＝ｃ/ａ］。［ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ(ｘ−α)(ｘ−β)］。
■ 図形と方程式
・三角形の５心
重心：三つの中線の交点（重心は中線を２：１に内分する）
外心：各辺の垂直二等分線の交点
内心：各内角の二等分線の交点
ヘロンの公式は三つの辺ａｂｃが与えられたとき、その面積を求める方法［Ｓ＝√(ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ))，ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/２］。
・正弦定理
角の大きさとそれに対する辺の長さの関係
ａ/sinＡ＝２Ｒ，Ｒ：外接円の半径
・余弦定理
ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−ａｂcosＡ
Ａ＝90°のとき三平方の定理
・２次曲線（円錐曲線）
ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋２ｐｘ＋２ｑｙ＋ｃ＝０
ａｂ−ｈ^2＞０ … 楕円
ａｂ−ｈ^2＜０ … 双曲線
ａｂ−ｈ^2＝０ … 放物線
■ 複素数、ベクトルと行列
複素数［ａ＋ｂi］の絶対値［|ａ＋ｂi|＝√(ａ^2＋ｂ^2)］
複素数の極形式［ａ＋ｂi＝ｒ(cosθ＋isinθ)］ 偏角θ＝argｚ
複素数ｚ1とｚ2
|ｚ1ｚ2|＝|ｚ1||ｚ2| arg(ｚ1,ｚ2)＝argｚ1＋argｚ2 掛算は回転
|ｚ1/ｚ2|＝|ｚ1|/|ｚ2| arg(ｚ1/ｚ2)＝argｚ1−argｚ2 割算は逆回転
「複素数にiを掛ける」はπ/２、90°回転することになります
「複素数に−１を掛ける」はπ、180°回転することになります
・オイラーの公式
ｅ^iθ＝cosθ＋isinθ
［cosθ＋isinθ］は極形式表示の複素数 絶対値は１で偏角はθ
オイラーの公式により、三角関数の計算を指数関数で代用できます
シータにπを代入すると ｅ^iπ＝cosπ＋isinπ＝−１
→ オイラーの等式 ｅ^iπ＝−１
平面上の二つのベクトルが平行でないとき、この二つのベクトルは一次独立
→ 任意のベクトルＰを、Ｐ＝ｍａ＋ｎｂ と表せる
ｍとｎがただ一通りに求められるという保証が一次独立
・ベクトルの内積
ベクトルａとｂのなす角がθ
内積 ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
ａ・ｂ＝ａ1ｂ1＋ａ2ｂ2 ａ＝(ａ1,ａ1),ｂ＝(ｂ1,ｂ2)
２つのベクトルが垂直であれば cosθ＝０ なので内積は０
内積は物理では「仕事」に相当します 移動方向への力ｆ・移動距離ｓ
・ベクトルの外積
［ａ×ｂ＝ｃ］は、ａとｂが張る平行四辺形の面積に等しい
ａ,ｂ⊥ｃ ａ×ｂ＝−(ｂ×ａ)
・行列の乗法
ＡＢのij成分は、Ａのi行ベクトルとＢのj列ベクトルの内積
積に関して交換法則が成り立たない
・単位行列Ｅ 対角成分が１、他が０の正方行列
・行列式|Ａ| Ａ＝｜ａ ｂ｜ |Ａ|＝ａｄ−ｂｃ
｜ｃ ｄ｜
・逆行列
行列Ａの逆行列は、ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅ となる行列Ｘ(Ａ^-1)
ＡＡ^-1＝Ａ^-1Ａ＝Ｅ
正則行列は逆行列を持つ |Ａ|≠０
逆行列を掛けることは、行列の割算に相当します
・行列と連立方程式
連立法定式 ＡＸ＝Ｂ
Ａ^-1ＡＸ＝Ａ^-1Ｂ → Ｘ＝Ａ^-1Ｂ
逆行列Ａ^-1を求める
・行列の１次変換
平面上の点｜ｘ｜を｜ｘ′｜ ｜ｘ′｜＝｜ａ ｂ｜｜ｘ｜
｜ｙ｜ ｜ｙ′｜に移す ｜ｙ′｜ ｜ｃ ｄ｜｜ｙ｜
ｘ軸の対象移動 Ａ＝｜ １ ０｜
｜ ０ −１｜
ｙ軸の対象移動 Ａ＝｜−１ ０｜
｜ ０ １｜
直線ｙ＝ｘの対象移動 Ａ＝｜ ０ １｜
｜ １ ０｜
原点の対象移動 Ａ＝｜ ０ −１｜
｜−１ ０｜
恒等変換(自分自身に移動) Ａ＝｜ １ ０｜
｜ ０ １｜
・固有値
Ａｕ＝ｋｕ となるとき
ｋ：固有値 ｕ：固有ベクトル
Ａ＝｜ａ ｂ｜
｜ｃ ｄ｜の固有値ｋは固有方程式(特性方程式)の解
|Ａ−ｋＥ|＝ｋ^2−(ａ＋ｄ)ｋ＋(ａｄ−ｂｃ)＝０
■ 関数
回帰分析は、誤差の２乗和が最小となる一次関数を求める
２次関数 ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ が２つの実数解を持つ
Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＞０，ａ＞０
・三角比と三角関数
sinθ＝対辺(垂線)の長さ/斜辺の長さ
半径１の単位円上の点Ｐ(cosθ，sinθ)
ラジアンπ＝180°
・三角関数の加法定理
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)＝cosαcosβ∓ sinαsinβ
・指数の拡張
ａ^0＝１
ａ^0ａ^q＝ａ^0+q＝ａ^q −ａ^qで割って→ ａ^0＝１
ａ^-n＝１/ａ^n
ａ^-nａ^n＝ａ^-n+n＝ａ^0＝１ −ａ^nで割って→ ａ^-n＝１/ａ^n
・逆関数
ｙ＝ｆ(ｘ)
ｙに対してｘがただ一つ定まれば
＝定義域で単調増加か単調減少ならば、
逆の関数 ｘ＝ｇ(ｙ) が考えられる
ｘとｙを交換した ｙ＝ｇ(ｘ)＝ｆ^-1(ｘ) を逆関数と言う
ｙ＝ｆ(ｘ) と ｇ＝ｆ(ｘ) のグラフは ｙ＝ｘ に関して対象となる
・指数関数
ｙ＝ａ^x → ｘ＝log(a)ｙ
log(a)１＝０ log(a)ａ＝１
■ 微分
��ｘを零に近づけるとき
(ｆ(ａ＋��ｘ)−ｆ(ａ))/��ｘ がある一定の値に収束すれば
関数ｆ(ｘ)はｘ＝ａで微分可能である。
ｆ(ｘ)の２点（ａ,ｆ(ａ)）と（ａ＋��ｘ,ｆ(ａ＋��ｘ)）を結ぶ直線ｌ
直線ｌの傾きが収束する〜その周辺においてｆ(ｘ)が直線と見做せる
��距離/��時間 を、時間ｔとｔ＋ｈの間の平均の早さ
ｆ′(ｔ) を 時刻ｔにおける速度と考える
dｙ/dｘ は、分数の意味合いも持つ
ｙ＝ｘ^2 dｙ/dｘ＝２ｘ → dｙ＝２ｘdｘ
ネイピア数 lim(１＋ｈ)^(1/h)＝ｅ
・坊さんとロバの話
17頭のロバを持つお父さんの３人の息子への遺書
長男 … 17頭のロバの1/2を与える
次男 … 17頭のロバの1/3を与える
三男 … 17頭のロバの1/9を与える
１頭のロバに乗ったお坊さんが「私のロバをあげる」「18頭にして分けなさい」
長男 … 18頭のロバの1/2だから９頭
次男 … 18頭のロバの1/3だから６頭
三男 … 18頭のロバの1/9だから２頭
坊さんは残り1頭のロバに乗って去っていきました。
・合成関数の微分法
ｙ＝ｆ(ｇ(ｘ))，ｕ＝ｇ(ｘ) → dｙ/dｘ＝(dｙ/dｕ)(dｕ/dｘ)
・逆関数の微分法
ｙ＝ｆ(ｘ) の逆関数 ｘ＝ｇ(ｙ) → dｘ/dｙ＝1/(dｙ/dｘ)
・媒介変数表示の微分法
ｘ＝ｆ(ｔ)，ｙ＝ｆ(ｔ) → dｙ/dｘ＝(dｙ/dｔ)/(dｘ/dｔ)
・近似公式
ｆ(ａ＋ｈ)≒ｆ(ａ)＋ｈｆ'(ａ) ｈ≒０
ｆ(ｘ)≒ｆ(０)＋ｘｆ'(０) ｘ≒０
マクローリンの定理は、テイラー展開の特殊な場合
上記の近似式は、マクローリン展開の例
・中間値の定理
ｆ(ａ)ｆ(ｂ)＜０ であれば、
ｆ(ｃ)＝０を満たすｃが ａ＜ｘ＜ｂ に一つは存在する。
ｆ(ａ)≠ｆ(ｂ) のとき、ｆ(ａ)〜ｆ(ｂ)の任意の値ｋとすれば
ｆ(ｃ)＝ｋ（ａ＜ｃ＜ｂ）となるｃが一つは存在する。
・速度と加速度
速度 ｘ＝ｆ(ｔ) ��ｘ/��ｔ ：平均変化率
lim(��ｔ→０)��ｘ/��ｔ：瞬間変化率
加速度：速度の変化率 ａ＝(d^2ｘ/d^2ｔ)＝(d/dｔ)(dｘ/dｔ)
・平面上の速度と速さ
Ｐ(ｘ,ｙ)，ｘ＝ｆ(ｔ)，ｙ＝ｆ(ｔ)
速度ｖ＝（(dｘ/dｔ)，(dｙ/dｔ)）
速さ|ｖ|＝√((dｘ/dｔ)^2＋(dｙ/dｔ)^2)
・偏微分
ｚ＝ｆ(ｘ,ｙ) ｙを一定としたとき
δｚ/δｘ＝lim(��ｘ→０)（ｆ(ｘ＋��ｘ，ｙ)−ｆ(ｘ，ｙ)）/��ｘ
偏微分のδは「ラウンド」
・区分求積法
タイルを敷き詰めて 内側の面積＜本当の面積＜外側の面積
円を扇形に分割して (円周ｌ/2)×(半径ｒ)＝πｒ^2 ｌ＝２πｒ
・積分法
∫(a~b)ｆ(ｘ)dｘ＝lim(ｎ→∞)Σ(i=１~ｎ)ｆ(ｘi)��ｘ
「∫(インテグラル)」は「sum」のｓを伸ばしたもの
定積分は、ｆ(ｘi)��ｘ を無限に足すので無限級数
・平均値の定理
ｆ(ｘ) ［ａ,ｂ］で連続 ａ＜ｃ＜ｂ
∫ｆ(ｘ)dｘ＝ｆ(ｃ)(ｂ−ａ)
・線形性
ｆ(ａｘ)＝ａｆ(ｘ)
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)
・積の微分法
(ｕｖ)'＝ｕ'ｖ＋ｕｖ' ⇔ ｕｖ＝∫ｕ'ｖ＋∫ｕｖ'
・置換積分法
∫ｆ(ｇ(ｘ))ｇ'(ｘ)dｘ ＝ ∫ｆ(ｔ)dｔ ｔ＝ｇ(ｘ)
このとき ｇ'(ｘ)dｘ＝dｔ
・定積分の計算法
∫(a~b)ｆ(ｘ)dｘ＝［Ｆ(ｘ)］a~b＝Ｆ(ｂ)−Ｆ(ａ)
・ギュルダンの定理
図形Ｆを回転した立体の体積は、Ｆの面積×重心の移動距離(円周)
重心は図形の全質量が集積された点
■ 順列・組合せ
・集合の和
事象ＡＢが同時に起こらない Ａはｐ通り Ｂがｑ通り
ＡかＢのいずれかが起きる起こり方は、ｐ＋ｑ通り
・集合の積
事象ＡＢ Ａはｐ通り Ｂがｑ通り
Ａに続いてＢが起こる起こり方は、ｐ×ｑ通り
順序のついた組(ｐi,ｑj)の集合＝集合ＰとＱの直積は［Ｐ×Ｑ］
・順列
異なるｎ個のものからｒ個を取り出す順列の総数 nＰr＝ｎ！/(ｎ−ｒ)！
nＰn＝ｎ！ ０！＝１
・重複順列（繰り返しとる） ｎ^r
・同じ種類のものを含む順列
総数ｎ 同じものがｐ,ｑ,ｒ… 全てを並べる順列は
ｎ！/ｐ！ｑ！ｒ！…
・組み合わせ
異なるｎ個のものからｒ個を取る組合せ nＣr＝ｎ！/(ｎ−ｒ)！ｒ！
■ 確率・統計
数学的確率(先験確率)は、実際の現象ではない
標本空間の各根元事象が等確率とした場合
統計的確率(経験確率)は、観察結果です
二つの事象ＡとＢが背反ならば Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)
事象Ａの余事象‾Ａ Ｐ(Ａ)＝１−Ｐ(‾Ａ)
・確率の乗法定理（条件付き確率）
Ｐ(Ｂ|Ａ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)
事象ＡＢが独立
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ) Ｐ(Ｂ|Ａ)＝Ｐ(Ｂ)
・独立試行
二つの試行αとβが独立
Ｐ(Ａ×Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)
・反復試行(ベルヌーイ試行)
事象Ａが起こる確率ｐ 試行を独立にｎ回繰り返す
Ａがｒ回起こる確率 nＣrｐ^rｑ^n-r ｑ＝１−ｐ
起こる確率は各回の試行の確率の積 ｐ^rｑ^n-r
どこでｒ回起こるか nＣr
・大数の法則
事象Ａの起こる確率ｐ 試行を独立にｎ回繰り返す
事象Ａの起きる相対度数は、ｒ/ｎ
試行回数ｎを大きくしていくと、相対度数ｒ/ｎは確率ｐに近づく
大数の法則は、チェビシェフの不等式と二項定理を利用して証明される
・平均と分散
平均値ｍ＝∫(a~b)ｘｆ(ｘ)dｘ
分散σ^2＝∫(a~b)(ｘ−ｍ)^2ｆ(ｘ)dｘ
・中心極限定理
大きさｎの標本平均‾Ｘ 母平均：μ 母分散：σ^2
‾Ｘの平均値はμ 分散はσ^2/ｎ
ｎが大きければ、母集団分布が何であっても、‾Ｘの分布は正規分布で近似できる
・比率の推定
標本比率がｒ 母比率がＲ
ｎが大きければ、ｒは母比率Ｒ、分散Ｒ(１−Ｒ)/ｎ の正規分布に従う
・ベイズの定理
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝(Ｐ(Ｂ|Ａ)/Ｐ(Ｂ))Ｐ(Ａ)
← Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ａ|Ｂ)
θ：仮定 Ｄ：データ Ｐ(θ)：事前確率 Ｐ(Ｄ)：Ｄの生起確率
Ｐ(θ|Ｄ)：事後確率 Ｐ(Ｄ|θ)：尤度
Ｐ(θ|Ｄ)＝(Ｐ(Ｄ|θ)/Ｐ(Ｄ))Ｐ(θ)
＊例：風邪と検査
風邪を引いている人が陽性になる確率（感度）：90%
風邪を引いていない人が陽性になる確率（偽陽性率）：5%
全体の中で風邪を引いている人の割合（事前確率）：10%
あなたが検査を受けたところ、結果が陽性でした。
さて、本当に風邪を引いている確率はどれくらいでしょうか？
A = 風邪を引いている（確率 10% = 0.1）
B = 検査が陽性だった
P(B∣A) = 風邪の人が陽性になる確率（90% = 0.9）
P(B∣¬A) = 風邪でないのに陽性になる確率（5% = 0.05）
P(¬A) = 風邪を引いていない確率（90% = 0.9）
陽性になる確率 P(B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣¬A)P(¬A)
=(0.9×0.1)+(0.05×0.9)=0.135
陽性だったときに本当に風邪を引いている確率P(A∣B)
P(A∣B)= P(B∣A)P(A)/P(B)＝0.9×0.1/0.135≒0.6667
検査が陽性だった場合、本当に風邪を引いている確率は約66.7%。
検査が陽性でも必ずしも風邪を引いているとは限らない。
検査には「偽陽性」がある
風邪の人は10%しかいないため、検査の精度が高くても、
陽性の中には風邪を引いていない人も一定数含まれます。
ベイズの定理を使うことで「単純な確率」ではなく
「得られた情報を元にした確率」を計算できます。
