「品質管理のための統計手法」永田靖 2006年 日経文庫
初心に戻って、統計手法の実際を見つめ直す一つの方法は、品質管理の統計学を勉強し直すことです。品質管理の統計手法は、専門に研究しようとする人たちのものではなく、普通の人々が仕事上で必要に迫られて使う道具だからです。その入門書は、解り易く、かつ、実際に役に立つものが求められます。そういう意味で、この本は優れたものです。統計手法を考え直し、少しでも解り易い講義にするために参考にさせて頂きました。ありがとうございました。 以下は、この本の要約と引用です。
0.分ければ分かる
分けて違いを見いだせれば、その違いの要因を考えることによって問題解決への手掛かりを得ることができます。
＝問題解決ストーリー（ＱＣストーリー）＝
１）テーマ設定
２）現状把握
問題となる特性は何か？ 平均の問題なのか/バラツキの問題なのか？
３）目標設定
何を、何時までに、どれくらいにするのか？
４）要因分析
５）立案と実施
どの要因を選択し、どう処置するのか？
６）効果確認
７）歯止め･維持･管理
標準化し、管理して、良い状態を維持する
1.データのまとめ方
平均を求める際には、飛び離れた値（外れ値）がないか確認します。
度数分布表の区間数は、データ数の平方根をとります。見易いヒストグラムになります。
・データの標準化
ｕi＝(ｘi−av(ｘ))/ｓ ｓ：標準偏差
平均＝ゼロ/標準偏差＝１になります
散布図は、時間が先行する変数を横軸に取ります。散布図より、異常値の有無、層別の必要性、相関の程度を考察します。
（avｘ，avｙ）に近いデータは、相関関係に対する寄与は小さくなります。（avｘ，avｙ）から離れたデータは、相関係数への寄与が大きくなります。（av：平均）
データへの当て嵌りの良さを、寄与率Ｒ（ｒ^2）により評価します。Ｒは、0.8以上ならデータによく当て嵌っている、0.6以上なら良いと考えます。
・分割表の期待度数
ｍij ＝（Ｔxi×Ｔyi）/ ｎ （横合計×縦合計）/総合計
・クラメールの連関係数
ＣＲ ＝ χ^2 /（ｎ･(min(a,b)-1)）
χ^2 ＝ Σ（（ｎij−ｍij）^2 / ｍij） ｎij：測定値
ｅij ＝（ｎij−ｍij）/ √(ｍij)
ｘとｙの強い関連は、｜ｅij｜≧３が目安
ｅijは、標準正規分布に近似されます。｜ｅij｜≧３が目安になるのはそのためです。
2.確率分布とその応用
正規分布の分布形は、平均μを中心に左右対称で、μ±３σのところで、横軸に着地しているように見えます。
正規分布に従うｘとｙを合成します。合成された分散は、分散の加法性により求めます。
ｘ〜Ｎ(150,3^2)，ｙ〜Ｎ(50,4^2)
→ ｘ＋ｙ〜Ｎ(150＋50,√(3^2＋4^2)) → Ｎ(200,5^2)
工程能力指数（Ｃp）は、規格幅とバラツキを対比した量で、良品を作る能力を表します。工場能力指数Ｃpは、両側に規格があり、母平均が規格の中心にあるときに用います。
Ｃp ＝（ＳＵーＳＬ）/ ６σ
Ｃp ＞ 1.33 なら工程能力はある
Ｃp ＜ 1.00 なら工程能力は不足している
母平均が規格の中心からずれている可能性があるときは、以下を用います。
Ｃpk ＝ min(ＣpU，ＣpL) ＝ min（(ＳＵ−μ)/３σ，(μーＳＬ)/３σ）
3.統計推論の考え方
区間推定は母数がある区間を推定するものです。その区間に母数を含む可能性が95％や90％になるように空間を構成します。信頼率95％の信頼区間は、次式で求められます（est：推定値）。
（estＰー1.96√((estＰ(１−estＰ))/ｎ)，estＰ＋1.96√((estＰ(１−estＰ))/ｎ)）
点推定値に基づいて何らかの判断をする作業が検定です。
ＰAとＰBが異なるかどうかを判定します。点推定量は、
estＰA＝ｘA/ｎA，estＰB＝ｘB/ｎB
次式が成り立つ時、estＰAとestＰBは、異なると判断します。
｜ｕ0｜≧1.96
ｕ0 ＝（estＰAーestＰB）/ √(estＰ(１−estＰ)(1/ｎA ＋ １／ｎB))
estＰ ＝（ｘA＋ｘB）/（ｎA＋ｎB）
・av管理図の管理限界線
ＣＬ＝av(avｘ)
av(avｘ)：ｋ個の群の平均の平均
ＵＣＬ＝av(avｘ) ＋ Ａ2･avＲ
avＲ：郡のそれぞれの範囲Ｒの平均
Ａ2：管理図の係数表に記載されている値
ＬＣＬ＝av(avｘ) − Ａ2･avＲ
中心線：ＣＬ
上部管理限界：ＵＣＬ
下部管理限界：ＬＣＬ
・Ｒ管理図の管理限界線
ＣＬ＝avＲ
ＵＣＬ＝Ｄ4･avＲ
ＬＣＬ＝Ｄ3･avＲ
Ｄ3,Ｄ4：Ｒ管理図の係数表に記載されている値
管理限界線は、［中心線 ± ３×標準偏差］
4.実験計画法
品質に関する指標を特性と呼びます。因子を選んで、特性値の変化が認められるなら効果があると言います。分散分析表を作成して検定します。
・実験の順序による効果
実験を水準の順番に行うと、後半になるにつれて「作業が上手になる」「温度が上がる」などの誤差要因が積み重なる。このようなノイズを回避する為に、ランダム化実験や、乱塊法を用います。乱塊法は日の違いによる変動が大きいと予想される時、各日に一揃えの実験を行うことにより、日の違いによる影響を取り除くことができます。
・一元配置の検定
誤差を超えた効果があるかどうかを、検定統計量［Ｆ0＝ＶA/ＶB］で検討します。
・二元配置
それぞれの因子の水準を変化させた時の効果(主効果)と、組み合わせの効果(交互作用)を検討します。
因子Ａと因子Ｂの二元配置の実験の結果をプロットした時、因子Ａと因子Ｂを変化させた時のグラフが平行になっていることは、交互作用が無いことを示しています。並行からの崩れが交互作用です。
・交互作用Ａ×Ｂの分散分析表による検定
データ全体のバラツキを表す平方和：ＳT
水準間によるバラルキを表す平方和：ＳAB
水準内(誤差)によるバラツキを表す平方和：ＳE
ＳE＝ＳT−ＳAB
因子Ａの水準間によるバラツキを表す平方和：ＳA
因子Ｂの水準間によるバラツキを表す平方和：ＳB
交互作用を表す平方和：ＳA･B
ＳA･B＝ＳAB−ＳA−ＳB
・直交表
実験回数を減らすたあめに直交配列表実験を行うこともあります。直交表は、検定の精度が落ちることと引き換えに、少ない実験回数で多くの因子の(主)効果を調べることができます。
5.多変量解析法
説明変数を用いて目的変数を予測する式を作成します。
・重回帰分析
残差平方和を評価の尺度と考えることがっできます。Ｒを重相関係数、Ｒ^2を寄与率と呼びます。目的-説明変数間の関係が二次曲線の形であれば、［estｙ＝ｂ0＋ｂ1ｘ＋ｂ2ｘ^2］のような模型を考えます。
・主成分分析
成分ｚをその分散が最大になるように求めます。ｚと各変数ｘとの相関係数を、因子負荷量と呼びます。これらの値が最大になるように成分ｚを求めていると考えることもできます。
6.田口メソッド
田口-実験計画法のパラメータ設計で取り扱う特性は、静特性(目標値を持つ)と動特性に分類できます。
パラメータ設計では、お客様の使用雨環境における誤差を大きく振って特性のバラツキが大きくなるようにし、その大きさをＳＮ比(シグナル-ノイズ比)で評価します。そして、ＳＮ比を大きくする(バラツキを小さくする)制御因子とその水準を選びます。
目標値特性のＳＮ比；η＝10log(μ^2/σ^2)＝10log(avｘ^2/Ｖ) log：常用対数
平均値を目標値に近づける因子を調整因子と呼びます。調整因子は、その水準を変化させた時に、平均だけが変化して、ＳＮ比に影響しないものでなければなりません。
お客様がどのような状況で使用しても、製品が狙い通りに機能する必要があります（ロバスト：頑健）。
お客様の使用環境として考えられる様々な要因を取り上げ、それらを組み合わせて｛特性が低くなる条件」「特性が高くなる条件」を作成します。これを誤差因子の調合と言います。ＳＮ比を大きくする因子と水準を見つけ、ＳＮ比に影響を与えないで平均だけに影響を与える調整因子を見つけます。沢山の制御因子(パラメータ)を取り上げて直交表に割り付け、探索します。
パラメータ設計では制御因子(パラメータ)間の交互作用を重視しません。交互作用があっても、それを凌駕する主効果をみつければ良いと考えます。
ＳＮ比を大きくした後に、次に特性を目標値に合わせるという二段階設計を実施します。最後に、確認実験を行い、再現性を確認します。
素数のべき型直交表では、特定の交互作用の効果を取り出せます。混合系直交表では、交互作用が全ての列に分かれます。パラメータ設計では、交互作用を凌駕する主効果を求めるのですから、交互作用を取り出せないという性質は問題になりません。
マハラノビス田口システム（ＭＴシステム）は、マハラノビスの距離を用いた(多変量)管理図にパラメータ設計の考えを組み込んだものです。マハラノビスの距離は、標準化の考え方を多変量データに拡張した統計学上の距離です。
avＤ^2＝（(ｘ−avｘ)^2）/ｓ^2
１変数のマハラノビスの距離の２乗：avＤ^2
avｘ：ｘの平均
Ｖ：標本分散
標本標準偏差：ｓ
一般に変数間には相関がありますから、相関の強さに応じて割引いた量としてマハラノビスの距離の２乗を求めます。
